Robótica

Clase 10

Semana 11 - 26/05/2025

Cinemática

Def.: Rama de la mecánica que describe el de los objetos sólidos sin considerar las causas que lo originan. Estudio de la trayectoria en función del tiempo ¹

Utiliza velocidades y aceleraciones
Diferencia con Dinámica (estudio de fuerzas y sus efectos)
Modelos más simples

Se utilizará la notación de Newton para las derivadas

Velocidad \(\boldsymbol{\upsilon}\) (primera derivada) y aceleración \(\boldsymbol{a}\) (segunda derivada):

\[ \boldsymbol{\upsilon} = \frac{d\boldsymbol{x}}{dt} = \boldsymbol{\dot{x}} \qquad\qquad \boldsymbol{a} = \frac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2} = \boldsymbol{\ddot{x}} \]

Modelo cinemático

Los modelos cinemáticos lidian con la relación entre el movimiento de las ruedas y las restricciones de movimiento de la plataforma

Cinemática directa	Cinemática inversa
Dado un conjunto de velocidades de las ruedas (y la geometría del robot), determinar la velocidad del robot.	Dada la velocidad del robot (y la geometría), determinar el conjunto de velocidades de las ruedas.
Aplicación: Posicionamiento	Aplicación: Control

Grados de libertad

Sistemas holonómicos	Sistemas no-holonómicos
El sistema puede moverse instantáneamente en cualquier dirección según sus grados de libertad	El sistema no puede moverse instantáneamente en cualquier dirección
Silla de oficina con rueditas	Auto de calle

Locomoción

Def.: mecanismos que permiten al robot moverse libremente dentro de su entorno ¹

Se diferencia con Manipulación donde el robot está fijo y se mueven los objetos
Para robótica móvil el uso de ruedas es eficiente en terrenos planos y firmes

Tipos de ruedas

3 ruedas son suficientes para garantizar estabilidad. Más de 3 requieren un sistema de suspención adecuado
La selección depende de la aplicación

Configuraciones de robots con ruedas

Robot diferencial

Principio: controlar la dirección del movimiento variando las velocidades de la rueda izq. (\(v_L\)) y derecha por separado (\(v_R\))

Suposiciones para el modelo

El movimiento es en una superficie horizontal.
El contacto de las ruedas con la superficie es un punto.
Las ruedas no son deformables.
Las ruedas se encuentran conectadas por una estructura rígida.

Suposiciones para el modelo

El movimiento a lo largo del eje Y se conoce como rodaje (roll), cualquier otro movimiento se conoce como deslizamiento.
Se asume que el movimiento es de rodaje puro.
Se asume que no existe deslizamiento de ningún tipo (sliding, skidding, slipping).

Suposiciones para el modelo

No existe fricción para una rotación alrededor del punto de contacto.
Los ejes de rotación son ortogonales a la superficie.
Para una vuelta completa de una rueda de radio \(r\), el centro se desplaza \(2 \pi \, r\).

ICR (Instantaneous Center of Rotation)

Para un robot con múltiples ruedas, existe un punto en común de rotación denominado ICR
La velocidad de cada rueda debe ser consistente con la rotación de la estructura rígida de modo que no exista movimiento relativo entre ellas

Suposiciones para el modelo de un r.d.

Par de ruedas montadas a lo largo de un eje y una tercera de apoyo (no activa)
El ICR se ubica a lo largo de este eje

Velocidad angular y velocidad lineal

Una rueda ubicada a \(\require{color} \textcolor{ForestGreen}{\mathcal{R}}\) unidades del ICR, rota alrededor del ICR a lo largo de un círculo de radio \(\textcolor{ForestGreen}{\mathcal{R}}\)
La velocidad lineal \(\textcolor{Blue}{\upsilon}\) de una rueda puede definirse como \(\textcolor{Blue}{\upsilon} = \tfrac{2 \pi \textcolor{ForestGreen}{\mathcal{R}}}{T}\) donde \(T\) es el tiempo que tarda en completar una vuelta.
La velocidad angular \(\textcolor{Orange}{\dot\theta}\) se define como \(\textcolor{Orange}{\dot\theta} = \tfrac{2 \pi}{T}\) y tiene unidades de rad/s.
Combinando estas dos ecuaciones, se obtiene la relación entre velocidad lineal y angular para un movimiento circular: \[ \textcolor{Blue}{\upsilon} = \textcolor{Orange}{\dot\theta} \textcolor{ForestGreen}{\mathcal{R}} \qquad(1)\]

Deducción del modelo de un r.d.

Dado el punto medio entre las ruedas \(\textcolor{Maroon}{P}\) a una distancia \(\textcolor{ForestGreen}{R}\) del ICR, la distancia de la rueda izquierda y la derecha al ICR es:

\[ \begin{cases} \mathcal{R}_L = \textcolor{ForestGreen}{R} - \tfrac{\textcolor{Gray}{b}}{2}\\ \mathcal{R}_R = \textcolor{ForestGreen}{R} + \tfrac{\textcolor{Gray}{b}}{2} \end{cases} \]

Reemplazando en 1 (\(\textcolor{Blue}{\upsilon} = \textcolor{Orange}{\dot\theta} \mathcal{R}\)), las velocidades lineales quedan definidas como: \[ \begin{cases} \textcolor{Blue}{\upsilon_L} = \textcolor{Orange}{\dot\theta} (\textcolor{ForestGreen}{{R}} - \tfrac{\textcolor{Gray}{b}}{2})\\ \textcolor{Blue}{\upsilon_R} = \textcolor{Orange}{\dot\theta} (\textcolor{ForestGreen}{{R}} + \tfrac{\textcolor{Gray}{b}}{2}) \end{cases} \qquad(2)\]

Velocidad angular de un robot diferencial

\[ \begin{cases} \textcolor{Blue}{\upsilon_R} = \textcolor{Orange}{\dot\theta} (\textcolor{ForestGreen}{{R}} + \tfrac{\textcolor{Gray}{b}}{2})\\ \textcolor{Blue}{\upsilon_L} = \textcolor{Orange}{\dot\theta} (\textcolor{ForestGreen}{{R}} - \tfrac{\textcolor{Gray}{b}}{2}) \end{cases} \]

Restando ambas ecuaciones y resolviendo para \(\textcolor{Orange}{\dot\theta}\)

\[ \require{cancel} \begin{align*} \textcolor{Orange}{\dot\theta} (\textcolor{ForestGreen}{{R}} + \tfrac{\textcolor{Gray}{b}}{2}) - \textcolor{Orange}{\dot\theta} (\textcolor{ForestGreen}{{R}} - \tfrac{\textcolor{Gray}{b}}{2}) &= \textcolor{Blue}{\upsilon_R} - \textcolor{Blue}{\upsilon_L} \\ \textcolor{Orange}{\dot\theta} (\cancel{\textcolor{ForestGreen}{{R}}} + \tfrac{\textcolor{Gray}{b}}{2} - \cancel{\textcolor{ForestGreen}{{R}}} + \tfrac{\textcolor{Gray}{b}}{2}) &= \textcolor{Blue}{\upsilon_R} - \textcolor{Blue}{\upsilon_L} \\ \textcolor{Orange}{\dot\theta} \textcolor{Gray}{b} &= \textcolor{Blue}{\upsilon_R} - \textcolor{Blue}{\upsilon_L} \to \textcolor{Orange}{\dot\theta} = (\textcolor{Blue}{\upsilon_R} - \textcolor{Blue}{\upsilon_L}) / {\textcolor{Gray}{b}}\\ \end{align*} \]

Expresión de \(\textcolor{Orange}{\dot\theta}\) en función de las velocidades de las ruedas y la geometría:

\[ \textcolor{Orange}{\dot\theta} = \frac{\textcolor{Blue}{\upsilon_R} - \textcolor{Blue}{\upsilon_L}}{\textcolor{Gray}{b}} \qquad(3)\]

Radio de giro de un robot diferencial

Sumando ambas ecuaciones y resolviendo para \(\textcolor{ForestGreen}{{R}}\):

\[ \begin{align*} \textcolor{Orange}{\dot\theta} (\textcolor{ForestGreen}{{R}} + \tfrac{\textcolor{Gray}{b}}{2}) + \textcolor{Orange}{\dot\theta} (\textcolor{ForestGreen}{{R}} - \tfrac{\textcolor{Gray}{b}}{2}) &= \textcolor{Blue}{\upsilon_R} + \textcolor{Blue}{\upsilon_L}\\ \textcolor{Orange}{\dot\theta} (\textcolor{ForestGreen}{{R}} + \cancel{\tfrac{\textcolor{Gray}{b}}{2}} + \textcolor{ForestGreen}{{R}} - \cancel{\tfrac{\textcolor{Gray}{b}}{2}}) &= \textcolor{Blue}{\upsilon_R} + \textcolor{Blue}{\upsilon_L} \\ 2 \textcolor{ForestGreen}{{R}} \, \textcolor{Orange}{\dot\theta} &= \textcolor{Blue}{\upsilon_R} + \textcolor{Blue}{\upsilon_L} \to \textcolor{ForestGreen}{{R}} = (\textcolor{Blue}{\upsilon_R} + \textcolor{Blue}{\upsilon_L}) / {2 \textcolor{Orange}{\dot\theta}} \\ %R &= \frac{\upsilon_R + \upsilon_L}{2 \dot\omega} \end{align*} \]

Reemplazando con 3, expresión de \(\textcolor{ForestGreen}{{R}}\) en función de las velocidades de las ruedas y la geometría: \[ \textcolor{ForestGreen}{{R}} = \frac{\textcolor{Blue}{\upsilon_R} + \textcolor{Blue}{\upsilon_L}}{2 \frac{\textcolor{Blue}{\upsilon_R} - \textcolor{Blue}{\upsilon_L}}{\textcolor{Gray}{b}}} \to \textcolor{ForestGreen}{{R}} = \frac{\textcolor{Gray}{b}}{2} \frac{\textcolor{Blue}{\upsilon_R} + \textcolor{Blue}{\upsilon_L}}{\textcolor{Blue}{\upsilon_R} - \textcolor{Blue}{\upsilon_L}} \]

Casos particulares del modelo de r.d.

\[ \begin{split} \textcolor{Orange}{\dot\theta} = \frac{\textcolor{Blue}{\upsilon_R} - \textcolor{Blue}{\upsilon_L}}{\textcolor{Gray}{b}} \end{split} \quad\quad\quad \begin{split} \textcolor{ForestGreen}{{R}} = \frac{\textcolor{Gray}{b}}{2} \frac{\textcolor{Blue}{\upsilon_R} + \textcolor{Blue}{\upsilon_L}}{\textcolor{Blue}{\upsilon_R} - \textcolor{Blue}{\upsilon_L}} \end{split} \]

Tres casos particulares:

\[ \begin{array}{lllc} \textcolor{white}{{\upsilon_R} = {\upsilon_L}} & \textcolor{white}{{\dot\theta} = 0} & \textcolor{white}{{{R}} = \infty} & \textcolor{white}{\text{Movimiento en línea recta}} \\ \hline \textcolor{white}{{\upsilon_L} = -{\upsilon_R}} & \textcolor{white}{{\dot\theta} = \begin{cases}\tfrac{2 {\upsilon_R}}{{b}} \\[.25em] \tfrac{-2 {\upsilon_L}}{{b}} \end{cases}} & \textcolor{white}{{{R}} = 0} & \textcolor{white}{\text{Movimiento de rotación}} \\ \hline \begin{array}{l} \textcolor{white}{{\upsilon_L} = 0 \; \text{y} \; {\upsilon_R} \neq 0} \\[.25em] \textcolor{white}{{\upsilon_R} = 0 \; \text{y} \; {\upsilon_L} \neq 0} \end{array} & \textcolor{white}{{\dot\theta} = \begin{cases}\tfrac{{\upsilon_R}}{{b}} \\[.25em] \tfrac{-{\upsilon_L}}{{b}} \end{cases}} & \textcolor{white}{{{R}} = \begin{cases} \tfrac{{b}}{2} \\[.25em] \tfrac{-{b}}{2} \end{cases}} & \textcolor{white}{\text{Rotación sobre una rueda}} \\ \end{array} \]

Casos particulares del modelo de r.d.

Tres casos particulares:

\[ \begin{array}{lllc} \textcolor{Blue}{\upsilon_R} = \textcolor{Blue}{\upsilon_L} & \textcolor{Orange}{\dot\theta} = 0 & \textcolor{ForestGreen}{{R}} = \infty & \text{Movimiento en línea recta} \\ \hline \textcolor{white}{{\upsilon_L} = -{\upsilon_R}} & \textcolor{white}{{\dot\theta} = \begin{cases}\tfrac{2 {\upsilon_R}}{{b}} \\[.25em] \tfrac{-2 {\upsilon_L}}{{b}} \end{cases}} & \textcolor{white}{{{R}} = 0} & \textcolor{white}{\text{Movimiento de rotación}} \\ \hline \begin{array}{l} \textcolor{white}{{\upsilon_L} = 0 \; \text{y} \; {\upsilon_R} \neq 0} \\[.25em] \textcolor{white}{{\upsilon_R} = 0 \; \text{y} \; {\upsilon_L} \neq 0} \end{array} & \textcolor{white}{{\dot\theta} = \begin{cases}\tfrac{{\upsilon_R}}{{b}} \\[.25em] \tfrac{-{\upsilon_L}}{{b}} \end{cases}} & \textcolor{white}{{{R}} = \begin{cases} \tfrac{{b}}{2} \\[.25em] \tfrac{-{b}}{2} \end{cases}} & \textcolor{white}{\text{Rotación sobre una rueda}} \\ \end{array} \]

Casos particulares del modelo de r.d.

Tres casos particulares:

\[ \begin{array}{lllc} \textcolor{Blue}{\upsilon_R} = \textcolor{Blue}{\upsilon_L} & \textcolor{Orange}{\dot\theta} = 0 & \textcolor{ForestGreen}{{R}} = \infty & \text{Movimiento en línea recta} \\ \hline \textcolor{Blue}{\upsilon_L} = -\textcolor{Blue}{\upsilon_R} & \textcolor{Orange}{\dot\theta} = \begin{cases}\tfrac{2 \textcolor{Blue}{\upsilon_R}}{\textcolor{Gray}{b}} \\[.25em] \tfrac{-2 \textcolor{Blue}{\upsilon_L}}{\textcolor{Gray}{b}} \end{cases} & \textcolor{ForestGreen}{{R}} = 0 & \text{Movimiento de rotación} \\ \hline \begin{array}{l} \textcolor{white}{{\upsilon_L} = 0 \; \text{y} \; {\upsilon_R} \neq 0} \\[.25em] \textcolor{white}{{\upsilon_R} = 0 \; \text{y} \; {\upsilon_L} \neq 0} \end{array} & \textcolor{white}{{\dot\theta} = \begin{cases}\tfrac{{\upsilon_R}}{{b}} \\[.25em] \tfrac{-{\upsilon_L}}{{b}} \end{cases}} & \textcolor{white}{{{R}} = \begin{cases} \tfrac{{b}}{2} \\[.25em] \tfrac{-{b}}{2} \end{cases}} & \textcolor{white}{\text{Rotación sobre una rueda}} \\ \end{array} \]

Casos particulares del modelo de r.d.

Tres casos particulares:

\[ \begin{array}{lllc} \textcolor{Blue}{\upsilon_R} = \textcolor{Blue}{\upsilon_L} & \textcolor{Orange}{\dot\theta} = 0 & \textcolor{ForestGreen}{{R}} = \infty & \text{Movimiento en línea recta} \\ \hline \textcolor{Blue}{\upsilon_L} = -\textcolor{Blue}{\upsilon_R} & \textcolor{Orange}{\dot\theta} = \begin{cases}\tfrac{2 \textcolor{Blue}{\upsilon_R}}{\textcolor{Gray}{b}} \\[.25em] \tfrac{-2 \textcolor{Blue}{\upsilon_L}}{\textcolor{Gray}{b}} \end{cases} & \textcolor{ForestGreen}{{R}} = 0 & \text{Movimiento de rotación} \\ \hline \begin{array}{l} \textcolor{Blue}{\upsilon_L} = 0 \; \text{y} \; \textcolor{Blue}{\upsilon_R} \neq 0 \\[.25em] \textcolor{Blue}{\upsilon_R} = 0 \; \text{y} \; \textcolor{Blue}{\upsilon_L} \neq 0 \end{array} & \textcolor{Orange}{\dot\theta} = \begin{cases}\tfrac{\textcolor{Blue}{\upsilon_R}}{\textcolor{Gray}{b}} \\[.25em] \tfrac{-\textcolor{Blue}{\upsilon_L}}{\textcolor{Gray}{b}} \end{cases} & \textcolor{ForestGreen}{{R}} = \begin{cases} \tfrac{\textcolor{Gray}{b}}{2} \\[.25em] \tfrac{-\textcolor{Gray}{b}}{2} \end{cases} & \text{Rotación sobre una rueda} \\ \end{array} \]

Velocidades angulares de las ruedas

Sea \(\textcolor{Plum}{\dot\phi}\) la velocidad de rotación de la rueda: \[\textcolor{Blue}{\upsilon} = \textcolor{Plum}{\dot\phi} \, r\]

Reemplazando para \(\textcolor{Blue}{\upsilon_R}\) y \(\textcolor{Blue}{\upsilon_L}\):

\[ \begin{split} \textcolor{Orange}{\dot\theta} = \frac{r}{\textcolor{Gray}{b}}(\textcolor{Plum}{\dot\phi_R} - \textcolor{Plum}{\dot\phi_L}) \end{split} \quad\quad\quad \begin{split} \textcolor{ForestGreen}{{R}} = \frac{\textcolor{Gray}{b}}{2} \frac{\textcolor{Plum}{\dot\phi_R} + \textcolor{Plum}{\dot\phi_L}}{\textcolor{Plum}{\dot\phi_R} - \textcolor{Plum}{\dot\phi_L}} \end{split} \]

Velocidades lineales del robot diferencial

\[ \begin{split} \textcolor{Orange}{\dot\theta} = \frac{r}{\textcolor{Gray}{b}}(\textcolor{Plum}{\dot\phi_R} - \textcolor{Plum}{\dot\phi_L}) \end{split} \quad\quad\quad \begin{split} {{R}} = \frac{\textcolor{Gray}{b}}{2} \frac{\textcolor{Plum}{\dot\phi_R} + \textcolor{Plum}{\dot\phi_L}}{\textcolor{Plum}{\dot\phi_R} - \textcolor{Plum}{\dot\phi_L}} \end{split} \]

Sea \(\textcolor{ForestGreen}{\dot{x}}\) e \(\textcolor{ForestGreen}{\dot{y}}\) la velocidad lineal del robot en los ejes \(\textcolor{Maroon}{\boldsymbol{x}_R}\) e \(\textcolor{Maroon}{\boldsymbol{y}_R}\)
Utilizando la ecuación de velocidad angular: \[ \require{cancel} \begin{align*} {}^\textcolor{Maroon}{R}\textcolor{ForestGreen}{\dot{x}} = \textcolor{Orange}{\dot\theta} \, R &= \frac{r}{{\textcolor{Gray}{b}}} {(\textcolor{Plum}{\dot\phi_R} - \textcolor{Plum}{\dot\phi_L})} \, \frac{{\textcolor{Gray}{b}}}{2} \frac{\textcolor{Plum}{\dot\phi_R} + \textcolor{Plum}{\dot\phi_L}}{{\textcolor{Plum}{\dot\phi_R} - \textcolor{Plum}{\dot\phi_L}}}\\ {}^\textcolor{Maroon}{R}\textcolor{ForestGreen}{\dot{x}} &= \frac{r}{2} \, (\textcolor{Plum}{\dot\phi_R} + \textcolor{Plum}{\dot\phi_L}) \end{align*} \]

Que pasa con \(\textcolor{ForestGreen}{\dot{y}}\) ?

Velocidades lineales del robot diferencial

\[ \begin{split} \textcolor{Orange}{\dot\theta} = \frac{r}{\textcolor{Gray}{b}}(\textcolor{Plum}{\dot\phi_R} - \textcolor{Plum}{\dot\phi_L}) \end{split} \quad\quad\quad \begin{split} {{R}} = \frac{\textcolor{Gray}{b}}{2} \frac{\textcolor{Plum}{\dot\phi_R} + \textcolor{Plum}{\dot\phi_L}}{\textcolor{Plum}{\dot\phi_R} - \textcolor{Plum}{\dot\phi_L}} \end{split} \]

Sea \(\textcolor{ForestGreen}{\dot{x}}\) e \(\textcolor{ForestGreen}{\dot{y}}\) la velocidad lineal del robot en los ejes \(\textcolor{Maroon}{\boldsymbol{x}_R}\) e \(\textcolor{Maroon}{\boldsymbol{y}_R}\)
Utilizando la ecuación de velocidad angular: \[ \begin{align*} {}^\textcolor{Maroon}{R}\textcolor{ForestGreen}{\dot{x}} &= \frac{r}{2} \, (\textcolor{Plum}{\dot\phi_R} + \textcolor{Plum}{\dot\phi_L})\\ {}^\textcolor{Maroon}{R}\textcolor{ForestGreen}{\dot{y}} &= 0 \end{align*} \]

Modelo cinemático de un robot diferencial

Se define un marco inercial \(\textcolor{Blue}{\mathcal{O}: \{ \mathcal{X}_O, \mathcal{Y}_O \}}\) y un marco de referencia local del robot \(\textcolor{Maroon}{\mathcal{P}: \{ \mathcal{X}_R, \mathcal{Y}_R \}}\)

La velocidad del robot en el marco local:

\[ {}^\textcolor{Maroon}{R} \boldsymbol{\dot \xi}_\textcolor{Maroon}{P} = \sideset{^\textcolor{Maroon}{R}}{}{\begin{pmatrix} \textcolor{ForestGreen}{\dot{x}} \\ \textcolor{ForestGreen}{\dot{y}} \\ \textcolor{Orange}{\dot\theta} \end{pmatrix}_\textcolor{Maroon}{P}} = \sideset{^\textcolor{Maroon}{R}}{}{\begin{pmatrix} \frac{r}{2} \, (\textcolor{Plum}{\dot\phi_R} + \textcolor{Plum}{\dot\phi_L})\\ 0 \\ \frac{r}{\textcolor{Gray}{b}}(\textcolor{Plum}{\dot\phi_R} - \textcolor{Plum}{\dot\phi_L}) \end{pmatrix}_\textcolor{Maroon}{P}} \]

Expresado en forma matricial \[ \sideset{^\textcolor{Maroon}{R}}{}{\begin{bmatrix} \textcolor{ForestGreen}{\dot{x}} \\ \textcolor{ForestGreen}{\dot{y}} \\ \textcolor{Orange}{\dot\theta} \end{bmatrix}_\textcolor{Maroon}{P}} = \begin{bmatrix} \frac{r}{2} & \frac{r}{2}\\ 0 & 0\\ \frac{r}{\textcolor{Gray}{b}} & - \frac{r}{\textcolor{Gray}{b}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textcolor{Plum}{\dot\phi_R} \\ \textcolor{Plum}{\dot\phi_L} \end{bmatrix} \qquad(4)\]

Modelo cinemático directo de un r.d.

Modelo cinemático directo: Dada las velocidades de las ruedas, la orientación actual y la geometría del robot, obtener la velocidad en el marco global.

\[ \boldsymbol{f}(\textcolor{Gray}{b}, r, \textcolor{Orange}{\theta}, \textcolor{Plum}{\dot\phi_R}, \textcolor{Plum}{\dot\phi_L} ) = \sideset{^\textcolor{Blue}{O}}{}{\boldsymbol{\dot\xi}_\textcolor{Maroon}{R}} = \sideset{^\textcolor{Blue}{O}}{}{\begin{bmatrix} \textcolor{ForestGreen}{\dot{x}} \\ \textcolor{ForestGreen}{\dot{y}} \\ \textcolor{Orange}{\dot\theta} \end{bmatrix}_\textcolor{Maroon}{R}} \]

Dada \(\boldsymbol{R}(\textcolor{Orange}{\theta})\) la matriz de rotación entre el marco local \(\textcolor{Maroon}{R}\) y el global \(\textcolor{Blue}{O}\):

\[ {}^\textcolor{Blue}{O} \boldsymbol{\dot\xi}_\textcolor{Maroon}{R} = \boldsymbol{R}(\textcolor{Orange}{\theta}) {}^\textcolor{Maroon}{R} \boldsymbol{\dot\xi}_\textcolor{Maroon}{P} = \begin{bmatrix} \cos{\textcolor{Orange}{\theta}} & -\sin{\textcolor{Orange}{\theta}} & 0 \\ \sin{\textcolor{Orange}{\theta}} & \cos{\textcolor{Orange}{\theta}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \sideset{^\textcolor{Maroon}{R}}{}{\begin{bmatrix} \textcolor{ForestGreen}{\dot{x}} \\ \textcolor{ForestGreen}{\dot{y}} \\ \textcolor{Orange}{\dot\theta} \end{bmatrix}_\textcolor{Maroon}{P}} \]

Modelo cinemático directo de un r.d.

\[ {}^\textcolor{Blue}{O} \boldsymbol{\dot\xi}_\textcolor{Maroon}{R} = \begin{bmatrix} \cos{\textcolor{Orange}{\theta}} & -\sin{\textcolor{Orange}{\theta}} & 0 \\ \sin{\textcolor{Orange}{\theta}} & \cos{\textcolor{Orange}{\theta}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \sideset{^\textcolor{Maroon}{R}}{}{\begin{bmatrix} \textcolor{ForestGreen}{\dot{x}} \\ \textcolor{ForestGreen}{\dot{y}} \\ \textcolor{Orange}{\dot\theta} \end{bmatrix}_\textcolor{Maroon}{P}} \]

Utilizando la definición de 4:

\[ {}^\textcolor{Blue}{O} \boldsymbol{\dot\xi}_\textcolor{Maroon}{R} = \begin{bmatrix} \cos{\textcolor{Orange}{\theta}} & -\sin{\textcolor{Orange}{\theta}} & 0 \\ \sin{\textcolor{Orange}{\theta}} & \cos{\textcolor{Orange}{\theta}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{r}{2} & \frac{r}{2}\\ 0 & 0\\ \frac{r}{\textcolor{Gray}{b}} & - \frac{r}{\textcolor{Gray}{b}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textcolor{Plum}{\dot\phi_R} \\ \textcolor{Plum}{\dot\phi_L} \end{bmatrix} \]

\[ \boldsymbol{f}(\textcolor{Gray}{b}, r, \textcolor{Orange}{\theta}, \textcolor{Plum}{\dot\phi_R}, \textcolor{Plum}{\dot\phi_L} ) = \begin{bmatrix} \cos{\textcolor{Orange}{\theta}} & -\sin{\textcolor{Orange}{\theta}} & 0 \\ \sin{\textcolor{Orange}{\theta}} & \cos{\textcolor{Orange}{\theta}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{r}{2} & \frac{r}{2}\\ 0 & 0\\ \frac{r}{\textcolor{Gray}{b}} & - \frac{r}{\textcolor{Gray}{b}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textcolor{Plum}{\dot\phi_R} \\ \textcolor{Plum}{\dot\phi_L} \end{bmatrix} \]

Modelo cinemático directo de un r.d.

Nombrando \(\textcolor{ForestGreen}{V}\) a la velocidad lineal en el eje \(\textcolor{Maroon}{\boldsymbol{x}_R}\) del marco local del robot:

\[ \textcolor{ForestGreen}{V} = {}^\textcolor{Maroon}{R}\textcolor{ForestGreen}{\dot{x}} = \frac{r}{2} \, (\textcolor{Plum}{\dot\phi_R} + \textcolor{Plum}{\dot\phi_L}) \]

Sabiendo que \(\textcolor{Orange}{\dot\theta} = \frac{r}{\textcolor{Gray}{b}}(\textcolor{Plum}{\dot\phi_R} - \textcolor{Plum}{\dot\phi_L})\), podemos escribir de forma abreviada:

\[ \boldsymbol{f}(\textcolor{Gray}{b}, r, \textcolor{Orange}{\theta}, \textcolor{Plum}{\dot\phi_R}, \textcolor{Plum}{\dot\phi_L} ) = \begin{bmatrix} \cos{\textcolor{Orange}{\theta}} & 0 \\ \sin{\textcolor{Orange}{\theta}} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textcolor{ForestGreen}{V} \\ \textcolor{Orange}{\dot\theta} \end{bmatrix} \]

Modelo cinemático inverso de un r.d.

Modelo cinemático inverso: Dada la velocidad del robot, la orientación actual y la geometría del robot, obtener las velocidades de las ruedas.

\[ \boldsymbol{g}(\textcolor{Gray}{b}, r, \textcolor{Orange}{\theta}, {}^\textcolor{Blue}{O} \boldsymbol{\dot\xi}_\textcolor{Maroon}{R} ) = \begin{bmatrix} \textcolor{Plum}{\dot\phi_R} & \textcolor{Plum}{\dot\phi_L} \end{bmatrix} \Rightarrow \boldsymbol{f}^{-1} = {( {}^\textcolor{Blue}{O}{\boldsymbol{\dot\xi}}_\textcolor{Maroon}{R} )}^{-1} = \sideset{^\textcolor{Maroon}{R}}{_\textcolor{Blue}{O}}{\boldsymbol{\dot\xi}} \]

Como está planteado el problema, no es invertible:

\[ \boldsymbol{g} = \boldsymbol{f}^{-1} = \left( \begin{bmatrix} \cos{\textcolor{Orange}{\theta}} & -\sin{\textcolor{Orange}{\theta}} & 0 \\ \sin{\textcolor{Orange}{\theta}} & \cos{\textcolor{Orange}{\theta}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{r}{2} & \frac{r}{2}\\ 0 & 0\\ \frac{r}{\textcolor{Gray}{b}} & - \frac{r}{\textcolor{Gray}{b}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textcolor{Plum}{\dot\phi_R} \\ \textcolor{Plum}{\dot\phi_L} \end{bmatrix} \right)^{-1} \]

Modelo cinemático inverso de un r.d.

Sabiendo que no hay velocidad en la componente \(\textcolor{Maroon}{\boldsymbol{y}_R}\) del robot, es posible reducir 4 a dos ecuaciones:

\[ \begin{gather*} {}^\textcolor{Maroon}{R} \boldsymbol{\dot \xi}_\textcolor{Maroon}{P} = \sideset{^\textcolor{Maroon}{R}}{}{\begin{bmatrix} \textcolor{ForestGreen}{\dot{x}} \\ \textcolor{ForestGreen}{\dot{y}} \\ \textcolor{Orange}{\dot\theta} \end{bmatrix}_\textcolor{Maroon}{P}} = \begin{bmatrix} \frac{r}{2} & \frac{r}{2}\\ 0 & 0\\ \frac{r}{\textcolor{Gray}{b}} & - \frac{r}{\textcolor{Gray}{b}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textcolor{Plum}{\dot\phi_R} \\ \textcolor{Plum}{\dot\phi_L} \end{bmatrix}\\[0.5em] \downarrow\\[0.5em] \overline{{}^\textcolor{Maroon}{R} \boldsymbol{\dot \xi}_\textcolor{Maroon}{P}} = \sideset{^\textcolor{Maroon}{R}}{_\textcolor{Maroon}{P}}{\begin{bmatrix} \textcolor{ForestGreen}{\dot{x}} \\ \textcolor{Orange}{\dot\theta} \end{bmatrix}} = \begin{bmatrix} \frac{r}{2} & \frac{r}{2}\\ \frac{r}{\textcolor{Gray}{b}} & - \frac{r}{\textcolor{Gray}{b}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textcolor{Plum}{\dot\phi_R} \\ \textcolor{Plum}{\dot\phi_L} \end{bmatrix} \end{gather*} \]

Modelo cinemático inverso de un r.d.

Invirtiendo el sistema:

\[ \begin{bmatrix} \textcolor{Plum}{\dot\phi_R} \\ \textcolor{Plum}{\dot\phi_L} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tfrac{r}{2} & \tfrac{r}{2}\\ \tfrac{r}{b} & -\tfrac{r}{b} \end{bmatrix}^{-1} \sideset{^\textcolor{Maroon}{R}}{}{ \begin{bmatrix} \textcolor{ForestGreen}{\dot{x}} \\ \textcolor{Orange}{\dot\theta} \end{bmatrix}} = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{r} & \tfrac{b}{2r}\\ \tfrac{1}{r} & - \tfrac{b}{2r} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textcolor{ForestGreen}{\dot{x}} \\ \textcolor{Orange}{\dot\theta} \end{bmatrix} \]

De forma simplificada:

\[ \begin{cases} \textcolor{Plum}{\dot\phi_R} = \frac{1}{r} (\textcolor{ForestGreen}{\dot{x}} + \frac{\textcolor{Gray}{b}}{2} \textcolor{Orange}{\dot\theta}) \\[0.5em] \textcolor{Plum}{\dot\phi_L} = \frac{1}{r} (\textcolor{ForestGreen}{\dot{x}} - \frac{\textcolor{Gray}{b}}{2} \textcolor{Orange}{\dot\theta}) \end{cases} \]

Taller de resolución

Ejercicios 5 al 8